المعرفه

كيفية التعامل مع كثير الحدود من الدرجة الثانية (معادلة الدرجة الثانية)

Posted on
مؤلف: Monica Porter
تاريخ الخلق: 17 مارس 2021
تاريخ التحديث: 1 تموز 2024
Anonim
أسهل وأسرع طريقة لتحليل عبارة تربيعية ax^2 + bx + c تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية
فيديو: أسهل وأسرع طريقة لتحليل عبارة تربيعية ax^2 + bx + c تحليل كثيرات الحدود من الدرجة الثانية

المحتوى

في هذه المقالة: المضي قدمًا في التجربة والخطأ بواسطة التحلل "لعبة ثلاثية" الفرق بين مربعين استخدم الصيغة التربيعية باستخدام آلة حاسبة

يتكون كثير الحدود من متغير (x) مرفوع إلى قوة معينة تسمى درجة كثير الحدود ، وعدة مصطلحات أخرى من درجات منخفضة و / أو عدة ثوابت أخرى. تحديد عامل متعدد الحدود من الدرجة الثانية (وتسمى أيضًا "المعادلة التربيعية") يعني اختزال التعبير الأولي إلى ناتج تعبيرات ذات درجات أصغر يمكن ضربها في الأخرى. هذه المعرفة جزء من دورة المدرسة الثانوية وأكثر ، لذلك قد يكون من الصعب فهم هذه المقالة إذا لم يكن لديك المستوى المطلوب من الرياضيات.


مراحل

للبدأ



  1. اكتب تعبيرك الشكل القياسي لمعادلة الدرجة الثانية هو:

    الفأس + bx + c = 0
    ابدأ بترتيب شروط المعادلة الخاصة بك وفقًا لترتيب الصلاحيات ، من الأكبر إلى الأصغر ، كما في النموذج القياسي. خذ على سبيل المثال:

    6 + 6x + 13x = 0
    سنقوم بإعادة ترتيب هذا التعبير لتسهيل العمل من خلال تحريك المصطلحات ببساطة:

    6x + 13x + 6 = 0.



  2. ابحث عن النموذج المحسّن باستخدام إحدى الطرق الموضحة أدناه. سوف يعطي التخصيم تعبيرين أقصر من شأنه أن يعطي كثير الحدود الأولي إذا ضاعفنا أحدهما تلو الآخر:

    6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
    في هذا المثال ، (2x +3) و (3x + 2) العوامل التعبير الأولي ، 6x + 13x + 6.




  3. تحقق عملك! اضرب العوامل التي حددتها. ثم ادمج المصطلحات المتشابهة وسيتم ذلك. ابدأ بـ:

    (2x + 3) (3x + 2)
    دعنا نبدأ في اختبار هذا التعبير ، بضرب مصطلحات التعبرين للحصول على:

    6x + 4x + 9x + 6
    من هناك ، يمكننا إضافة 4x و 9 x لأنها شروط من نفس الدرجة. نحن نعلم حينها أن عواملنا صحيحة لأننا نسير بشكل جيد على التعبير عن المغادرة:

    6x + 13x + 6.

الطريقة الأولى المضي قدمًا في التجربة والخطأ

إذا كنت تتعامل مع كثير الحدود بسيط إلى حد ما ، يجب أن تكون قادراً على العثور على التحلل كمنتج عامل في لمحة. على سبيل المثال ، يستطيع العديد من علماء الرياضيات رؤية هذا التعبير 4x + 4x + 1 يعطي العوامل (2x + 1) و (2x + 1) بالعادة والخبرة (من الواضح أن هذا ليس بهذه البساطة في حالة كثيرات الحدود المعقدة). في هذا المثال ، لنأخذ تعبيرًا أقل شيوعًا:

3x + 2x - 8

.




  1. تقديم قائمة من العوامل معامل الى و ج. باستخدام تعبير النموذج الفأس + bx + c = 0، تحديد المعاملات الى و ج وسرد العوامل المقابلة. من أجل: 3x + 2x - 8 ، هذا يعطي:

    a = 3 وله زوج واحد فقط من العوامل: 1 * 3
    c = -8 وأربعة أزواج من العوامل: -2 * 4 و -4 * 2 و -8 * 1 و -1 * 8 ..



  2. اكتب على قطعتك من الورق زوجان من الأقواس مع مساحة للكتابة داخلهما. ستدخل الثوابت لكل تعبير في المساحة المتوفرة:

    (خ) (خ).



  3. قبل x ، اكتب زوجًا من العوامل المحتملة للمعامل الى. للمعامل الى في مثالنا ، 3x ، هناك احتمال واحد فقط:

    (3x) (1x).



  4. ثم املأ الفراغين المتبقيين مع زوج من العوامل للمعامل ج. خذ على سبيل المثال 8 و 1. اكتبها:

    (3X8) (X1).



  5. تقرر الآن علامة (أكثر أو أقل) لوضع بين x والرقم الذي وضعت بعده. وفقًا لعلامة التعبير الأصلي ، من الممكن العثور على علامات الثوابت. دعوة ح و ك ثوابت عواملنا:

    إذا كانت الفأس + bx + c ثم (x + h) (x + k)
    إذا كانت الفأس - bx - c أو ax + bx - c ، ثم (x - h) (x + k)
    إذا كانت الفأس - bx + c ثم (x - h) (x - k)
    في مثالنا ، 3x + 2x - 8 ، يجب وضع العلامات بالطريقة التالية: (x - h) (x + k) ، والذي يعطينا العاملين التاليين:

    (3x + 8) و (x - 1).



  6. تحقق من النموذج الخاص بك عن طريق إعادة تطويره. أول اختبار سريع هو التحقق مما إذا كان الحد الأوسط له القيمة الصحيحة. إذا كانت x غير جيدة ، فربما تكون قد اخترت زوج العوامل الخاطئ للمعامل ج. دعونا نتحقق من نتائجنا:

    (3 × 8) (س - 1)
    بعمل الضرب ، نحصل على:

    3x - 3x + 8x - 8
    بإضافة المصطلحين المتشابهين (-3x) و (8x) لتبسيط هذا التعبير ، نحصل على:

    3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
    نحن نعرف الآن أننا ربما حددنا العوامل الخاطئة:

    3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8.



  7. إذا لزم الأمر ، تبادل اختيارك من العوامل. في مثالنا ، دعونا نجرب 2 و 4 بدلاً من 1 و 8:

    (3 × 2) (س - 4)
    الآن معاملنا ج هي -8 ، لكن الضرب (3x * -4) و (2 * x) تعطي -12x و 2x ، والتي بالإضافة إلى ذلك لا تعطي دائمًا القيمة الأولية لل ب، هذا هو + 2x.

    -12x + 2x = 10x
    10x ≠ 2x.



  8. إذا لزم الأمر ، عكس الترتيب. نقلب في مثالنا مكان 2 و 4:

    (3 × 4) (س - 2)
    الآن المعامل ج دائمًا ما يكون جيدًا ، لكن معاملات المصطلحات في x تستحق هذا الوقت -6 x و 4x. بمجرد إضافتها ، يعطي هذا:

    -6x + 4x = -2x
    2x ≠ -2x نحن قريبون جدًا من القيمة الأولية 2x التي نسعى لإيجادها ، لكن العلامة ليست جيدة.



  9. تحقق من علامات مرة أخرى إذا لزم الأمر. سنحتفظ الآن بنفس الترتيب ، لكننا سنتبادل العلامات:

    (3 × 4) (× + 2)
    المعامل من قبل ج دائمًا ما تكون جيدة ، وأصبحت المصطلحات في x تساوي (6x) و (-4 x). للأسباب التالية:

    6x - 4x = 2x
    2x = 2x لذلك نحصل على 2x كان لدينا في الأصل. لذلك ربما وجدنا العوامل الصحيحة.

الطريقة الثانية: تابع بالتحلل

هذه الطريقة سوف تسمح لنا بتحديد جميع العوامل الممكنة للحصول على المعاملات الى و ج واستخدامها لتحديد العوامل التي هي الصحيحة. إذا كانت الأرقام كبيرة جدًا أو كانت طرق التجربة والخطأ الأخرى تبدو طويلة جدًا ، يمكنك استخدام هذه الطريقة. خذ المثال التالي:

6x + 13x + 6

.



  1. اضرب المعامل الى بواسطة معامل ج. في مثالنا ، الى يساوي 6 و ج يساوي أيضا 6.

    6 * 6 = 36.



  2. أوجد المعامل ب عن طريق التخصيم ومن ثم اختبار العوامل التي تم الحصول عليها. نحن نبحث عن رقمين يمثلان عاملين في المنتج الى * ج التي حددناها والتي يساوي مجموعها قيمة المعامل "ب" (13).

    4 * 9 = 36
    4 + 9 = 13.



  3. أعرض الرقمين اللذين حصلت عليهما للتو في المعادلة الخاصة بك ؛ ضعهم أمام علامة x ، بحيث يكون مجموعهم مساويًا للمعامل ب. لنأخذ الحروف ك و ح لتمثيل الرقمين اللذين تم الحصول عليهما ، 4 و 9:

    الفأس + kx + hx + c
    6x + 4x + 9x + 6.



  4. عامل متعدد الحدود الخاص بك عن طريق التجميع. قم بتنظيم المعادلة لإيجاد أكبر عامل مشترك في المصطلحين الأولين وأكبر عامل مشترك للمصطلحين الأخيرين. يجب أن تحصل بعد ذلك على مجموعتين متطابقتين. جمع المعاملين معًا ووضعهما بين قوسين أمام النموذج الخاص بك. ثم تحصل على اثنين من العوامل الخاصة بك:

    6x + 4x + 9x + 6
    2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)
    (2x + 3) (3x + 2).

طريقة 3 من 3: "اللعبة الثلاثية"

هذه الطريقة تشبه إلى حد كبير الطريقة السابقة. يتكون هذا من فحص العوامل المحتملة لمنتجات المعاملات الى و ج، ثم استخدمها للعثور على قيمة ب. خذ على سبيل المثال المعادلة التالية:

8x + 10x + 2



  1. اضرب المعامل الى بواسطة معامل ج. كما هو الحال مع طريقة التحلل ، سيساعدنا ذلك في تحديد المرشحين المحتملين للمعامل ب. في مثالنا ، الى يساوي 8 و ج يستحق 2.

    8 * 2 = 16.



  2. ابحث عن الرقمين اللذين يكون رقمهما هو الرقم الذي تم العثور عليه للتو (16) والذي يعطي مجموعهما المعامل "b". هذه الخطوة مماثلة لتلك الخاصة بأسلوب التحلل - أي أننا نختبر ونرفض المرشحين للثوابت. نتاج المعاملات الى و ج يساوي 16 ، والمعامل ج يساوي 10:

    2 * 8 = 16
    8 + 2 = 10.



  3. خذ هذين الرقمين واستبدلهما في صيغة "اللعب الثلاثي". خذ الرقمين من الخطوة السابقة - دعنا ندعو لهم ح و ك - وقدمهم بالتعبير التالي:

    ((الفأس + ح) (الفأس + ك)) / أ

    ثم نحصل على:

    ((8x + 8) (8x + 2)) / 8.



  4. ابحث عن أي من التعبيرات النصية الموجودة في البسط قابلة للقسمة على المعامل الى. في هذا المثال ، نختبر ما إذا كان يمكن تقسيم (8x + 8) أو (8x + 2) على 8. (8x + 8) قابلة للقسمة على 8 ، ثم سنقسم هذا التعبير على الى وترك التعبير الآخر كما هو.

    (8 × + 8) = 8 (× + 1)
    التعبير الذي نحتفظ به هنا هو الذي يبقى بعد القسمة على المعامل الى : (س + 1).



  5. البحث - إذا كان هناك - عامل مشترك أكبر في كلا قوسين. في مثالنا ، فإن التعبير الثاني له عامل مشترك أكبر من 2 ، منذ 8x + 2 = 2 (4x + 1). اجمع هذه الإجابة مع التعبير الذي وجدته في الخطوة السابقة. لقد وجدت بالتالي عاملين متعددين الحدود.

    2 (x + 1) (4x + 1).

طريقة 4 من 4: اختلاف المربعات

يمكن تعريف بعض معاملات كثيرات الحدود على أنها "مربعات" ، وهذا يعني على أنها منتجات الضرب من رقمين. من خلال تحديد هذه المربعات ، يمكنك معالجة بعض الحدود المتعددة بشكل أسرع. خذ على سبيل المثال المعادلة:

27x - 12 = 0



  1. ابدأ بتقسيم كل شيء إلى عامل مشترك أكبر إذا كان ذلك ممكنًا. في مثالنا ، نرى 27 و 12 ، كلاهما قابل للقسمة على 3 ، حتى نتمكن من "انفجار" التعبير الأولي على النحو التالي:

    27x - 12 = 3 (9x - 4).



  2. حدد ما إذا كانت معاملات المعادلة عبارة عن أرقام مربعة. لاستخدام هذه الطريقة ، يجب أن تكون قادرًا على العثور على جذور مربعة لمعاملاتك (لاحظ أننا لا نعتبر علامات سلبية - نظرًا لأننا نتعامل مع المربعات ، فقد يكونوا نتاج رقمين موجبين أو سلبية)

    9x = 3x * 3x و 4 = 2 * 2.



  3. باستخدام الجذر التربيعي الذي وجدته ، اكتب عواملك. خذ قيم الى و ج وجدت سابقا - الى = 9 و ج = 4 - قبل العثور على الجذر التربيعي - √الى = 3 و √ج = 2. ستكون هذه معاملات تعبيراتنا المؤثرة:

    27x - 12 = 3 (9x - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

طريقة 5 من 5: استخدام الصيغة التربيعية

إذا فشلت جميع الطرق المذكورة أعلاه ولم تتمكن من العثور على العوامل الصحيحة لمعادلة الخاص بك ، ثم استخدم الصيغة التربيعية. خذ المثال التالي:

x + 4x + 1 = 0



  1. خذ قيم المعاملات "a" و "b" و "c" واستبدلهما في الصيغة التربيعية التالية:

    x = -b ± √ (b - 4ac)
          ---------------------
    2A
    ثم نحصل على التعبير:

    x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2.



  2. حل المعادلة لإيجاد x. كما ترون أعلاه ، يجب أن تحصل على قيمتين x:


    x = -2 + √ (3) أو x = -2 - √ (3).



  3. استخدم قيمة x للعثور على العوامل. أدخل قيم x التي تم الحصول عليها مسبقًا كثوابت للتعبير متعدد الحدود. هذه ستكون عواملك. دعوة ح و ك قيم x ، واكتب النموذجين الحاملين:

    (س - ح) (س - ك)
    في هذه الحالة ، تكون النتيجة النهائية هي:

    (x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3)).

طريقة 6 من 6: استخدام آلة حاسبة

إذا سمح لك باستخدام حاسبة رسوم بيانية ، فاحرص على أن هذا سيسهل مهمتك إلى حد كبير ، خاصة أثناء الاختبارات. هذه التعليمات صالحة فقط للآلات الحاسبة الرسومية لماركة Texas Instrument. خذ على سبيل المثال المعادلة التالية:

ص = س - س - 2



  1. أدخل المعادلة الخاصة بك في الحاسبة. سيتعين عليك استخدام "معادلة محلل" ، أي الشاشة.



  2. تقديم تمثيل رسومي لمعادلة الخاص بك على الآلة الحاسبة. بعد إدخال المعادلة ، اضغط - يجب أن ترى بعد ذلك التمثيل البياني للمنحنى يظهر (بتعبير أدق ، سوف تحصل على "قوس" لأنك تعمل على كثير الحدود).



  3. أوجد نقاط تقاطع القوس مع المحور السيني (x). نظرًا لأن المعادلات متعددة الحدود مكتوبة تقليديًا بالشكل: ax + bx + c = 0 ، فهذه هي قيمتي x التي يساوي التعبير الصفر بها:

    (-1, 0), (2 , 0)
    س = -1 ، س = 2.
    • إذا لم تتمكن من قراءة قيم المكان الذي يعبر فيه المنحنى المحور السيني ، فاضغط على ذلك. اضغط أو اختر "صفر". انقل المؤشر إلى يسار أحد التقاطعات واضغط. ثم انقل المؤشر إلى يمين هذا التقاطع واضغط مرة أخرى. بعد ذلك ، حرك المؤشر أقرب ما يمكن إلى التقاطع واضغط مرة أخرى. سوف تجد الحاسبة قيمة x. افعل نفس الشيء بعد التقاطع الآخر.



  4. أخيرًا ، أدخل القيم x التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة في تعبير ثنائي العامل. إذا اتصلنا ح و ك قيمتنا x ، سنستخدم بعد ذلك التعبير التالي:

    (x - h) (x - k) = 0
    وهكذا ، سوف نحصل على العاملين التاليين:

    (x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2).
  • قلم
  • ورقة
  • معادلة من الدرجة الثانية (أو معادلة من الدرجة الثانية)
  • آلة حاسبة الرسوم البيانية (اختياري)